Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求证数列{a_n-n+1}是等比数列；
（3）记b_n=n（a_n+1-3^n-1），证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．令n=1可得，2a₁=a₂+1-2+1，解得a₂．
（2）2S_n=a_n+1+n²-2n+1，可得n≥2时，2S_n-1=a_n+（n-1）²-2（n-1）+1，
相减可得：a_n+1=3a_n-2n+3，变形为：a_n+1-（n+1）+1=3（a_n-n+1），验证n=1时也成立，即可证明．
（3）由（2）可得：a_n-n+1=3^n-1，可得b_n=n（a_n+1-3^n-1）=n²，n≥3时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．即可证明．

解答 （1）解：∵a₁=1，2S_n=a_n+1+n²-2n+1，n∈N^*．∴2a₁=a₂+1-2+1，∴a₂=2．
（2）证明：∵2S_n=a_n+1+n²-2n+1，∴n=2时，2×（1+2）=a₃+1，解得a₃=5．
n≥2时，2S_n-1=a_n+（n-1）²-2（n-1）+1，
相减可得：a_n+1=3a_n-2n+3，
变形为：a_n+1-（n+1）+1=3（a_n-n+1），n=1时，5-2+1=3+1成立．
∴数列{a_n-n+1}是等比数列，公比为3，首项为1．
（3）证明：由（2）可得：a_n-n+1=3^n-1，
∴b_n=n（a_n+1-3^n-1）=n²，
∴n≥3时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
对一切正整数n，有$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜1+$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．