Question

设函数f（x）=2x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）当b=-1时，求在曲线y=f（x）上一点（0，f（0）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

解：（1）当b=-1时，f（x）=2x²-ln（x+1），f（0）=0，
f′（x）=4x-，
在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=-1，
所以所求切线方程为：y=-x；
（2）函数f（x）=2x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=4x+=，
①当b≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点；
②当b＜1时，解f′（x）=0得两个不同解，，
当b＜0时，＜-1，＞-1，
所以此时f′（x）在（-1，x₂）上小于0，在（x₂，+∞）上大于0，即f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点；
③当0＜b＜1时，在（-1，x₁），（x₂，+∞）上f′（x）＞0，则（x₁，x₂）上f′（x）＜0，
此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点；
综上可知，b＜0时，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点；
0＜b＜1时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点；
b≥1时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
分析：（1）当b=-1时，f（0）=0，切线斜率kk=f′（0）=-1，点斜式即可求得切线方程；
（2）先求出函数的定义域，求导数f′（x），在定义域内按①当b≥1时，②当b＜1时，③当0＜b＜1时三种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，根据极值点的定义即可求得；
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程、函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x₀为可导数函数的极值点的必要不充分条件．