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如图示,在底面为直角梯形的四棱椎P   ABCD中,AD//BC,ÐABC= 900, PA^平面ABCD,PA= 4,AD= 2,AB=2,BC = 6.

(1)求证:BD^平面PAC ;
(2)求二面角A—PC—D的正切值;
(3)求点D到平面PBC的距离.
(1)见解析;(2);(3)

试题分析:(1)三角形AOB中,由勾股定理得:BO^AC,即:BD^AC, 又BD^PA,ACÇ PA=A,由线面垂直判定定理可得BD^平面PAC;(2)先作出二面角的平面角,然后在直角三角形中求出正切值;(3)利用等积法,由VD—PBC = VP—BDC即可求出点D到平面PBC的距离.
试题解析:解:(1)令BD与AC相交于点O,不难求得:AC=4,BD= 4
由DAOD~DBOC得:BO=×4= 3;AO=×4=;
\ BO2+AO2 = (3)2+()2=" 12=" AB2
\由勾股定理得:BO^AC,即:BD^AC, 又BD^PA,ACÇ PA=A,
\ BD^平面PAC          3分
(2)由(1)知:DO^平面PAC,过O作OH^PC于H,连DH,则DH^PC
则ÐDHO就是二面角A—PC—D的平面角, DO=×BD =×4="1" ,
CO=×AC=×4=3, 由RtDPAC~RtDOHC得: =,又PC= =" 8," OH=.tanÐDHO= =.          7分
(3)由VD—PBC = VP—BDC可得:h=.         10分
练习册系列答案
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如图:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动

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(Ⅱ)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF

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,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若,则
②若,则
③ 若,则
④ 若,则
其中错误命题的序号是(  )
A.①④B.①③C.②③④D.②③

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下列命题中,真命题是(  )
A.直线m、n都平行于平面,则m∥n
B.设是真二面角,若直线,则
C.设m、n是异面直线,若m∥平面,则n与相交
D.若直线m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线,且,则

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对两条不相交的空间直线a与b, 必存在平面a, 使得(      )
A. aÌa, bÌaB.aÌa, b//aC. a^a, b^aD.aÌa, b^a

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图所示,正方体的棱长为1, 分别是棱的中点,过直线的平面分别与棱交于,设,给出以下四个命题:

①平面平面
②当且仅当时,四边形的面积最小;
③四边形周长是单调函数;
④四棱锥的体积为常函数;
以上命题中真命题的序号为           

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在棱长为1的正方体中,的中点,点为侧面内一动点(含边界),若动点始终满足,则动点的轨迹的长度为__________

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