Question

19．已知$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，$0＜β＜\frac{π}{3}$，$cos（\frac{π}{3}+α）=-\frac{3}{5}$，$sin（\frac{2π}{3}+β）=\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sinα和sinβ，代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，计算可得．

解答 解：∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{3}$+α＜π，
又∵cos（$\frac{π}{3}$+α）=-$\frac{3}{5}$
∴sin（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{4}{5}$，
$0＜β＜\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{2π}{3}+β＜π$，sin（$\frac{2π}{3}+β$）=$\frac{5}{13}$，
∴cos（$\frac{2π}{3}+β$）=-$\frac{12}{13}$，
sin（α+β）=-sin[π+（α+β）]=-sin[（$\frac{π}{3}$+α）+（$\frac{2π}{3}+β$）]
=-[sin（$\frac{π}{3}$+α）cos（$\frac{2π}{3}+β$）+sin（$\frac{2π}{3}+β$）cos（$\frac{π}{3}$+α）]=-[$\frac{4}{5}$×（$-\frac{12}{13}$）-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$]=$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．