Question

已知函数f(x)=1nx，g(x)=2-

a

x

(a为实数）
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e²]上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知an=2f(2n+1)-f(n)-f(n+1)，n∈N*，求证：数列{a_n}的前n项和Sn＞

3

4

n+

1

60

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入g（x）可以得到F（x），对其进行求导，求出极值点，研究其单调性，从而求出最小值；
（Ⅱ）不知道a的值，同样对F（x）进行求导，根据方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e²]上有解，说明F（x）=0，有解，分离常数可得a=2x-xlnx，令h（x）=2x-xlnx，利用导数研究函数h（x）的值域即可；
（Ⅲ）已知an=2f(2n+1)-f(n)-f(n+1)，n∈N*，对其进行代入求出通项公式a_n，利用第一问的结论lnx≥1-

1

x

，利用此不等式进行放缩证明即可；

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-2，
F′（x）=

1

x

+

-1

x2

=

x-1

x2

，令F′（x）=0，得x=1，
F（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以F（x）的最小值为-1；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx+

a

x

-2=0，x∈[1，e²]
∴a=2x-xlnx，h′（x）=2-1-lnx=1-lnx，
令h′（x）=0，解得x=e，列表，

∴a∈[0，e]；
（Ⅲ）设a_n=2f（2n+1）-f（n）-f（n+1）=2ln（2n+1）-lnn-ln（n+1）=ln

4n2+4n+1

n(n+1)

由（Ⅰ）知lnx≥1-

1

x

（当且仅当x=1时取等号），
∴a_n＞1-

n(n+1)

4n2+4n+1

=

3

4

+

1

4

1

(2n+1)2

＞

3

4

+

1

4

1

(2n+1)(2n+3)

=

3

4

+

1

8

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
S_n-

n

k=1

ak＞

3

4

n+

1

8

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

3

4

n+

1

8

（

1

3

-

1

2n+3

）≥

3

4

n+

1

8

（

1

3

-

1

5

）=

3

4

n+

1

60

；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，第一问为特殊情况，第二问为一般情况带有参数，用到了常数分离法与转化的数学思想，是一道综合题；