Question

（本小题满分12分）
如图，三棱锥中，平面.

（1）求证：平面；
（2）若，为中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）见解析.（2）.

解析试题分析：
（1）由平面BCD，平面BCD，
得到.
进一步即得平面.
（2）思路一：由平面BCD，得.
确定.
根据平面ABD，
知三棱锥C-ABM的高，
得到三棱锥的体积.
思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
根据平面ABD平面BCD=BD，
通过过点M作交BD于点N.
得到平面BCD，且，
利用计算三棱锥的体积.
试题解析：解法一：
（1）∵平面BCD，平面BCD，
∴.
又∵，，
平面ABD，平面ABD，
∴平面.
（2）由平面BCD，得.
∵，∴.
∵M是AD的中点，
∴.
由（1）知，平面ABD，
∴三棱锥C-ABM的高，
因此三棱锥的体积
.

解法二：
（1）同解法一.
（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，
又平面ABD平面BCD=BD，
如图，过点M作交BD于点N.

则平面BCD，且，
又，
∴.
∴三棱锥的体积
.
考点：垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”.