已知点在抛物线上,直线(,且)与抛物线,相交于、两点,直线、分别交直线于点、.
(1)求的值;
(2)若,求直线的方程;
(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
(1);(2)或;(3)存在,且两个定点坐标为和.
解析试题分析:(1)将点代入抛物线的方程即可求出的值;(2)解法1是先设点、的坐标分别为、,将直线的方程与抛物线的方程联立求出、的坐标,并求出、的直线方程,与直线的方程联立求出、的坐标,利用两点间的距离公式列等式求出的值,从而求出直线的方程;解法2是设直线的方程为,点的坐标为,分别将直线的方程与抛物线和直线的方程求出点、的坐标,然后设直线的方程为,利用同样的方法求出点、的坐标,利用点、都在直线上,结合两点连线的斜率等于值以及点在直线得到、与之间的等量关系,然后再利用两点间的距离公式列等式求出的值,从而求出直线的方程;(3)解法1是求出线段的中点的坐标,然后写出以为直径的圆的方程,结合韦达定理进行化简,根据方程的结构特点求出定点的坐标;解法2是设为以为直径的圆上的一点,由得到以为直径的圆的方程,然后圆的方程的结构特点求出定点的坐标.
试题解析:(1)点在抛物线上,.
第(2)、(3)问提供以下两种解法:
解法1:(2)由(1)得抛物线的方程为.
设点、的坐标分别为、,依题意,,,
由消去得,
解得.
,,
直线的斜率,
故直线的方程为.
令,得,点的坐标为.
同理可得点的坐标为
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给定椭圆.称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.
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如图,已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为.
(1)求k的取值范围,并求的最小值;
(2)记直线的斜率为,直线的斜率为,那么是定值吗?证明你的结论.
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已知抛物线的准线与x轴交于点M,过点M作圆的两条切线,切点为A、B,.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线,切点分别为P、Q,若P,Q,O(O为原点)三点共线,求点N的坐标.
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已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点().
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:y=kx+t与圆(1<R<2)相切于点A,且l与椭圆E只有一个公共点B.
①求证:;
②当R为何值时,取得最大值?并求出最大值.
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已知椭圆C:的左、右焦点分别为,离心率,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设是直线上的不同两点,若,求的最小值.
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已知平面上的动点P(x,y)及两个定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别为K1,K2且K1K2=-
(1).求动点P的轨迹C方程;
(2).设直线L:y=kx+m与曲线C交于不同两点,M,N,当OM⊥ON时,求O点到直线L的距离(O为坐标原点)
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如图,已知点为椭圆右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.
(1)求的值及椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.
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给定椭圆:,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明;
(ⅱ)求证:线段的长为定值.
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