Question

【题目】已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；

（2）已知关于x的不等式f（x）在R上恒成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）[5，+∞）∪（∞，]；（2）[﹣2，1].

【解析】

（1）根据a＝4时，有f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.

（2）根据绝对值的零点有a﹣1和，分a﹣1，a﹣1和a﹣1时三种情况分类讨论求解.

（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣4|+|x﹣3|，

（i）当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，

此时不等式的解集[5，+∞）；

（ii）当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9

此时不等式的解集；

（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x，

此时不等式的解集（∞，]，

综上可得，不等式的解集[5，+∞）∪（∞，]，

（2）（i）当a﹣1即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|2显然不恒成立，

（ii）当a﹣1即a＞2时，，

结合函数的单调性可知，当x时，函数取得最小值f（），

若f（x）在R上恒成立，则，此时a不存在，

（iii）当a﹣1即a＜2时，f（x）

若f（x）在R上恒成立，则1，

解得﹣2≤a≤1，

此时a的范围[﹣2，1]，

综上可得，a的范围围[﹣2，1]．