Question

【题目】已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，.

（1）证明:平面平面；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等边三角形，这样结合可得，再有，因此有平面，从而可证面面垂直；

（2）只要作于点，则可得平面，从而得是中点，，计算得，以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值．

详解：（1）证明：由是直角梯形，，

可得

从而是等边三角形，，平分

∵为的中点，，∴

又∵，∴平面

∵平面，∴平面平面

（2）法一：作于,连,

∵平面平面,平面平面

∴与平面平面

∴为与平面所成的角，，

又∵,∴为中点,

以为轴建立空间直角坐标系，

，

设平面的一个法向量，

由得，

令得，

又平面的一个法向量为，

设二面角为，则

所求二面角的余弦值是.

解法二：作于点,连，

∵平面平面，平面平面

∴ 平面

∴为与平面所成的角,

又∵,∴为中点，

作于点,连,则平面，则，

则为所求二面角的平面角

由，得,∴,∴.