Question

【题目】如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．

（1）证明:平面平面;

（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由是等边三角形,,得．再证明,,从而和证明平面,故平面平面得证．

（2）作,垂足为连接．由,证得结合二面角为,可得,,.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则,,向量,即平面的一个法向量,运用公式和,即可得出直线与平面所成角的正弦值．

解:（1）证明:因为是等边三角形,,

所以,可得．

因为点是的中点,则,,

因为,平面PBD,平面,

所以平面,因为平面,

所以平面平面．

（2）如图,作,垂足为连接．

因为,

所以为二面角A-BD-C的平面角．

由已知二面角为,知．

在等腰三角形中,由余弦定理可得．

因为是等边三角形,则,所以．

在中,有,得,

因为,所以．

又,所以．

则,．

以为坐标原点,以向量的方向分别为轴,轴的正方向,

以过点垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,

则,,向量,

平面的一个法向量为,

设直线与平面所成的角为,

则,

所以直线与平面所成角的正弦值为．