Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n=pn²+2n（n∈N^*）．
（I）求p的值及a_n；
（II）若，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使成立的最小正整数n的值．

Answer 1

解：（I）（法一）∵{a_n}的等差数列∴
又由已知S_n=pn²+2n，
∴p=1，a₁-1=2，
∴a₁=3，
∴a_n=a₁（n-1）d=2n+1
∴p=1，a_n=2n+1；
（法二）由已知a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，即a₁+a₂=4p+4，
∴a₂=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（法三）由已知a₁=S₁=p+2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+2n-[p（n-1）²+2（n-1）]=2pn-p+2
∴a₂=3p+2，
由已知a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（II）由（I）知
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n==
∵
∴，解得 又∵n∈N₊
∴n=5
分析：（I）法一：由“等差数列{a_n}和前n项和S_n=pn²+2n”，根据等差数列的求和公式，应用对应系数相等的方法求得p的值，令n=1求得a₁，进而求得a_n；
法二：由S_n=pn²+2n，分别令n=1，2，求得a₁，a₂，再根据等差数列的定义求得p，a_n
法三：由S_n=pn²+2n，根据，求得a_n，再根据等差数列的定义求得p；
（II）由（I）求得的a_n求出b_n，利用裂项求和方法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，解不等式求得最小的正整数n．
点评：本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算能力等；属中档题．