Question

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°,

 (1)证明  C₁C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

 (3)当的值为多少时，可使A₁C⊥面C₁BD？

Answer 1

(1)证明  连结A₁C₁、AC，AC和BD交于点O，连结C₁O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C是公共边，∴△C₁BC≌△C₁DC，∴C₁B=C₁D

∵DO=OB，∴C₁O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C₁O=O

∴BD⊥平面AC₁，又C₁C平面AC₁，∴C₁C⊥BD 

 (2)解  由(1)知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴∠C₁OC是二面角α—BD—β的平面角 

在△C₁BC中，BC=2，C₁C=，∠BCC₁=60°，

∴C₁B²=2²+()²－2×2××cos60°= 

∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C₁O=,即C₁O=C₁C 

作C₁H⊥OC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，∴cosC₁OC=

(3)解  由(1)知BD⊥平面AC₁，∵A₁O平面AC₁，∴BD⊥A₁C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC₁⊥A₁C，又∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD 

解析:

见详解