Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，函数的两个极值点为，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算的值，求出的值即可；（Ⅱ）求得导数，由题意可得在恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到的范围；（Ⅲ）函数在上有两个极值点，方程有两个不等的正根，求得两根，求得范围；不等式恒成立即为，而，设，求出导数，判断单调性，即可得到的最小值，即可求得的范围.

试题解析：（Ⅰ） ，所以，依题意知， ，所以.

（Ⅱ）函数的定义域是，若函数在其定义域上是增函数，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，因此实数的取值范围是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ，因为的两个极值点为，且，所以是方程的两个根，所以， ，不等式恒成立，即恒成立，而 ，由.所以，解得或，因为， ，所以舍去，所以.令， ， ，所以函数在上是减函数，所以，故.