【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
,如图所示,斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于两点
,线段
的中点为
,射线
交椭圆
于点
,交直线
于点
.
(1)求的最小值;
(2)若,求证:直线
过定点.
【答案】(1).(2)见解析
【解析】试题分析:(1)设,联立直线和椭圆方程,消去
,得到关于的
一元二次方程,利用韦达定理,求出点
的坐标和
所在直线方程,求点
的坐标,利用基本不等式即可求得
的最小值;
(2)由(1)知所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点
的坐标,并代入
,得到
,因此得证直线过定点;
试题解析:(1)设直线 的方程为
,由题意,
,
由方程组,得
,
由题意,所以
,
设,
由根与系数的关系得,所以
,
由于为线段
的中点,因此
,
此时,所以
所在直线的方程为
,
又由题意知,令
,得
,即
,
所以,当且仅当
时上式等号成立,
此时由得
,因此当
且
时,
取最小值
.
(2)证明:由(1)知所在直线的方程为
,
将其代入椭圆的方程,并由
,解得
,
又,
由距离公式及得
,
,
,
由,得
,
因此直线的方程为
,所以直线
恒过定点
.
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【题目】一个人有n把钥匙,其中只有一把可以打开房门,他随意的进行试开,若试开过的钥匙放在一边,试开次数X为随机变量,则P(X=k)=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 且a2=3,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设数列{ }的前n项和为Tn , 是否存在k∈N* , 使得等式2﹣2Tk=
成立,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图, 为圆
的直径,点
在圆
上,且
,矩形
所在的平面和圆
所在的平面垂直,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在了点
,使得
平面
?并说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,三角形VAB为等边三角形,AC⊥BC且 AC=BC= ,O、M分别为AB和VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求直线MC与平面VAB所成角.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(Ⅱ)若函数在其定义域上是增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)当时,函数
的两个极值点为
,且
,若不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列中,
,其前
项和
满足
.
(1)求证:数列为等差数列,并求
的通项公式;
(2)设 ,求数列
的前
项和
;
(3)设为非零整数
,是否存在
的值,使得对任意
恒成立,若存在求出
的值,若不存在说明理由.
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【题目】已知幂函数y=f(x)的图象过点(8,m)和(9,3).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=logaf(x)(a>0,a≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1,求实数a的值.
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