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    【题目】已知函数， ．

    （1）设．

    ①若函数在处的切线过点，求的值；

    ②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；

    （2）设函数，且（），求证：当时， ．

    【答案】（1）①；②；（2）见解析．

    【解析】试题分析：（1）由，分、讨论；（2）由已知等价于，构造函数，则，令，导函数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即，得证.

    试题解析：（1）当，可得，

    ∵，∴，

    ①当时， ，函数在上单调递增，而，

    所以只需，解得，从而．

    ②当时，由，解得，

    当时， ， 单调递减；

    当时， ， 单调递增．

    所以函数在上有最小值，令，解得，所以．综上所述， ．

    （2）由题意， ，

    而等价于，

    令，

    则，且， ，

    令，则，

    ∵，∴，

    所以导函数在上单调递增，于是，

    从而函数在上单调递增，即，

    ∴，

    即．

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