Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．        
（Ⅰ） 求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
法二：由AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．

解答： （Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …（9分）
证法二：AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）

解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为

n

=（0，0，1）；
Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0）．
设M（x，y，z），则

PM

=（x，y，z-

3

），

MC

=（-1-x，

3

-y，-z），
∵

PM

=t

MC

，
∴

x=t(-1-x) y=t( 3 -y) z- 3 =t(-z)

，
∴

x=- t 1+t y= 3 t 1+t z= 3 1+t

…（12分）
在平面MBQ中，

QB

=（0，

3

，0），

QM

=（-

t

1+t

，

3 t

1+t

，

3

1+t

），
∴平面MBQ法向量为

m

=（

3

，0，t）．…（13分）
∵二面角M-BQ-C为30°，
∴cos30°=

| n • m |

| n |•| m |

=

t

3+0+t2

=

3

2

，
∴t=3．…（15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．