Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，AC=1，AA₁=BC=2．
（1）求证：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求三棱锥C-AB₁E的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°得出BC⊥AC，AC⊥CC₁，即证AC⊥BC₁，BC⊥BC₁，得证BC₁⊥平面AB₁C；
（2）转化V C-AB1E=V B1-AEC求解即可．

解答： （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°
∴BC⊥AC，AC⊥CC₁，CC₁⊥BC，
∴AC⊥面B₁BCC₁，
∵BC₁?平面B₁BCC₁，
∴AC⊥BC₁，
∵AA₁=BC=2．
∴BC⊥BC₁，
∵AC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）∵BB₁∥平面A₁ACC₁，
∴B，B₁到平面A₁ACC₁的距离相等，
∵BC⊥AC，BC⊥CC₁，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴V C-AB1E=V B1-AEC=

1

3

×

1

2

×AC×EC×h=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

，

点评：本题综合考查了直线，平面的垂直与转化，体积求解，属于中档题．