Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点（5，-

19

）．
（1）求此双曲线方程；
（2）若点M（x₀，y₀）在双曲线右支上，且

MF1

⊥

MF2

，求点M的坐标；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程；
（2）先求出向量

MF1

，

MF2

的坐标，再由向量垂直的条件，得到方程，再由点在双曲线上满足方程，解得即可得到M的坐标；
（3）求出三角形的高，底边长，运用三角形的面积公式可得其面积．

解答： 解：（1）∵e=

2

，∴可设双曲线方程为x²-y²=λ，
∵过点（5，-

19

），∴25-19=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6；
（2）F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
∵

MF1

=（-2

3

-x₀，-y₀），

MF2

=（2

3

-x₀，-y₀），
且

MF1

⊥

MF2

，
∴

MF1

•

MF2

=x₀²-12+y₀²=0，
∵M点在双曲线右支上，∴x₀²-y₀²=6，
解得，x₀=3，y₀=±

3

，
即有M（3，

3

）或（3，-

3

）；
（3）△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4

3

，由（2）知y_M=±

3

．
∴△F₁MF₂的高h=|y_M|=

3

，
∴S△F1MF2=

1

2

×

3

×4

3

=6．

点评：本题考查双曲线的方程、定义和性质，考查向量的数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．