Question

已知x、y、z为实数，A、B、C是三角形的3个内角，证明x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式吧要证的不等式等价转化为 （x-ycosC-zcosB）²+（ysinC-zsinB）² ≥0，再根据此不等式显然成立，从而证得要证的不等式．

解答： 证明：x²+y²+z²≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 等价于x²+y²+z²-x（2ycosC+2zcosB）-2yzcosA≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）²+y²+z²-2yzcosA-（ycosC+zcosB）²≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz（2cosA+2cosCcosB）≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz[-2cos（B+C）+2cosCcosB]≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）²+y²sin²C+z²sin²B-yz 2sinBsinC≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）²+（ysinC-zsinB）² ≥0．
上不等式显然成立，故原命题成立，当且仅当 x=ycosC+zcosB，且ysinC=zsinB时，取等号．

点评：本题主要考查利用恒等变换法证明不等式，诱导公式、两角和差的余弦公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．