Question

如图所示，已知在多面体ABCDEF中，底面是正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AC且AC=2EF，AB=2AE=2
（1）求证：平面BDF⊥平面ABCD
（2）求平面BCF与平面ADE所成的角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC与BD交于O，连接OF，证明四边形AEFO是平行四边形，可得AE∥OF，由EA⊥平面ABCD，可得OF⊥平面ABCD，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面BDF⊥平面ABCD；
（2）建立坐标系，则

n

=（1，0，0）是平面ADE的法向量，求出平面BCF的法向量，利用向量的夹角公式求平面BCF与平面ADE所成的角．

解答： （1）证明：设AC与BD交于O，连接OF，则
∵EF∥AC且AC=2EF，
∴EF∥AO且AO=EF，
∴四边形AEFO是平行四边形，
∴AE∥OF，
∵EA⊥平面ABCD，
∴OF⊥平面ABCD，
∵OF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ABCD
（2）解：建立如图所示的坐标系，则

n

=（1，0，0）是平面ADE的法向量．
∵AB=2AE=2，
∴B（2，0，0），C（2，2，0），F（1，1，1），
设平面BCF的法向量为

m

=（x，y，z），则
∵

BC

=（0，2，0），

BF

=（-1，1，1），
∴

2y=0 -x+y+z=0

，
取z=1，则x=1，∴

m

=（1，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

=

2

2

，
∴平面BCF与平面ADE所成的角为45°．

点评：本题考查平面与平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．