Question

已知函数f（x）=

7x+5

x+1

，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，由此能够证明数列是等差数列．
（2）由b₁=f（0）=5可求得a₁，进而由（1）可求得a_n，由b_n=f（a_n-1）可得b_n．讨论b_n的符号，然后借助等差数列的求和公式可求得T_n．

解答：解：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴数列{

1

an

}是等差数列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，即7a₁-2=5a₁，解得a₁=1，∴

1

an

=1+(n-1)×

1

2

=

1

2

(n+1)，
∴an=

2

n+1

．
∴bn=

7an-2

an

=7-（n+1）=6-n．
∴{b_n}是首项为5，公差为-1的等差数列，
当n≤6时，b_n≥0，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
当n≥7时，b_n＜0．
T_n=b₁+b₂+…+b₆-b₇-…-b_n
=2（b₁+…+b₆）-（b₁+…+b_n）
=30-

n(11-n)

2

=

n2-11n+60

2

；
∴Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n≥7

．

点评：本题考查数列与函数的综合、由递推式求数列通项、数列求和等知识，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．