Question

已知F是双曲线的一个焦点，过F作一条与坐标轴不垂直，且与渐进线也不平行的直线l，交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于M点．
（1）设F为右焦点，l的斜率为1，求l′的方程；
（2）试判断是否为定值，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得F（5，0），所以l的方程为y=x-5与双曲线方程联立，消元可得7x²-160x+544=0
∴线段AB的中点坐标为（），
∴l′的方程为x+y-=0 …（5分）
（2）不失一般性，F取为（5，0）．
设直线AB的方程为y=k（x-5）（k≠0，k≠），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线方程与双曲线方程联立，消元可得（9-16k²）x²+160k²x-400k²-144=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|==
线段AB的中点坐标为（，），
∴线段AB的中垂线方程为y+=-（x+），
∴M的坐标为（，0）
∴|FM|=|-5|=
∴=是一个常数 …（13分）
分析：（1）l的方程与双曲线方程联立，确定线段AB的中点坐标，即可求得l′的方程；
（2）不失一般性，F取为（5，0）．设直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，求得|AB|，线段AB的中点坐标，可得线段AB的中垂线方程，从而可得M的坐标，进而可求是一个常数．
点评：本题考查直线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查两点间的距离公式，属于中档题．