Question

【题目】已知函数在点处的切线与直线垂直.

（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出在处的切线斜率，求得的值，求出的极值点，列出参数的不等式组，即可求得实数的取值范围；（2）当时， ，整理得，可设， ，证明的最小值大于的最大值.

试题解析：（1）因为，所以，得，所以，

得，得， （）．

当时， ， 为增函数；当时， ， 为减函数，

所以函数仅当时，取得极值．

又函数在区间上存在极值，所以，所以，

故实数的取值范围为．

（2）当时， ，即为，令，

则，

再令，则，

又因为，所以，所以在上是增函数，

又因为，

所以当时， ，所以在区间上是曾函数，

所以当时， ，故．

令，则．

因为，所以．

当时， ，

故函数在区间上是减函数，

又，所以当时， ，即得，即．