Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点分别为A和B，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共线，若点O，F分别为椭圆C的中心和左焦点，点P为椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最大值为6，则椭圆C的长轴长为4．

Answer 1

分析 通过$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共线可知b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，从而可知F（-$\frac{a}{2}$，0），通过设P（x，y），进而化简可知$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{4}$（x+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，利用-a≤x≤a可知$\frac{1}{4}$（a+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=6，计算即得结论．

解答 解：依题意，A（0，b），B（a，0），O（0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，-b），
又∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）共线，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=-b，即b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴椭圆方程可化为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
∴F（-$\frac{a}{2}$，0），
设P（x，y），则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（x，y）•（x+$\frac{a}{2}$，y）
=$\frac{a}{2}$x+x²+y²
=$\frac{a}{2}$x+x²+$\frac{3}{4}$（a²-x²）
=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{4}$a²
=$\frac{1}{4}$（x+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵-a≤x≤a，
∴当x=a时，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$取最大值为6，
∴$\frac{1}{4}$（a+a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=6，
解得：a=2或a=-2（舍），
∴长轴长2a=4，
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．注：本题亦可通过两向量同向时数量积最大从而直接确定点P为右端点．