Question

已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，则△AOC的面积为（　　）

• A、

  2

  5

• B、

  1

  2

• C、

  3

  10

• D、

  6

  5

Answer 1

分析：由题意可判

OA

⊥

OB

，以O为原点，

OA

，

OB

为x，y轴建立平面直角坐标系，设C（m，n）分别可得

OA

，

OB

，

OC

的坐标，代入3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

可得m，n的值，而S_△AOC=

1

2

OA•|n|，代计算可得．

解答：解：由题意可得|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，
又3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，
∴3

OA

+4

OB

=-5

OC

，
平方可得9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2，
代入数据可得9+24

OA

•

OB

+16=25，
解得

OA

•

OB

=0，可得

OA

⊥

OB

，
以O为原点，

OA

，

OB

为x，y轴建立平面直角坐标系（如图）
设C（m，n）则可得

OA

=（1，0），

OB

=（0，1），

OC

=（m，n）
代入3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

可得：
3（1，0）+4（0，1）+5（m，n）=0．
解得m=-

3

5

，n=-

4

5

∴S_△AOC=

1

2

OA•|n|=

1

2

×1×

4

5

=

2

5

故选：A

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式．三角函数和向量的综合题是高考的重点和热点，属中档题．