Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对任意x∈R，f（2+x）-f（2-x）=0；③当x∈[0，2]时．f（x）=x；④函数f_（n）（x）=f（2^n-1•x），n∈N^*，若过点（-1，0）的直线l与函数f_（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线1斜率k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{8}{11}$）
• B． （0，$\frac{11}{8}$）
• C． （0，$\frac{8}{19}$）
• D． （0，$\frac{19}{8}$）

Answer 1

分析 根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴函数f（x）是偶函数，
由f（2+x）-f（2-x）=0得f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
若x∈[-2，0]，则x∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，
∴当-x∈[0，2]时，f（-x）=-x，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-x=f（x），
即f（x）=-x，x∈[-2，0]，
则函数f（x）在一个周期[-2，2]上的表达式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}&{0≤x≤2}\\{-x}&{-2≤x＜0}\end{array}\right.$，
∵f_（n）（x）=f（2^n-1•x），n∈N^*，
∴数f_（4）（x）=f（2³•x）=f（8x），n∈N^*，
故f_（4）（x）的周期为$\frac{1}{2}$，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的$\frac{1}{8}$得到，
作出f_（4）（x）的图象如图：
易知过M（-1，0）的斜率存在，
设过点（-1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），
则要使f_（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，
则0＜k＜k_MA，
∵A（$\frac{7}{4}$，0），
∴k_MA=$\frac{2-0}{\frac{7}{4}+1}$=$\frac{8}{11}$，
故0＜k＜$\frac{8}{11}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．