Question

16．已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试讨论函数g（x）=f（x）-a（x+1）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）先求函数的定义域，然后对原函数求导，利用导数的符号确定原函数的单调性；
（2）通过导数研究函数的单调性，极值情况，然后根据单调性、极值的符号确定函数的图象与x轴交点的情况，从而确定函数的零点个数．

解答 解：（1）显然函数f（x）得定义域为（0，∞）．
易知f′（x）=1+ln（x+1）-1-lnx=$ln（1+\frac{1}{x}）＞0$．
所以原函数在（0，+∞）上单调递增．
（2）g（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx-a（x+1）
易知函数g（x）的定义域为（0，+∞）．
g′（x）=$ln（1+\frac{1}{x}）-a$
①若a≤0，显然g′（x）＞0，g（x）在定义域内单调递增，
且当x→0时，g（x）→0⁺，故此时g（x）不存在零点；
②如果a＞0，则$x=\frac{1}{{e}^{a}-1}$时，g′（x）=0．
而$（g′（x））′=\frac{-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{x}}＜0$，所以g′（x）在（0，+∞）上递减，
故当$x∈（0，\frac{1}{{e}^{a}-1}）$时，g′（x）＞0，g（x）此时是增函数；
当x$∈（\frac{1}{{e}^{a}-1}，+∞）$时，g′（x）＜0，故此时g（x）是减函数．
所以g（x）_极大=$g（\frac{1}{{e}^{a}-1}）$=ln$\frac{1}{{e}^{a}-1}$，
所以当g（x）_极大＜0时，原函数没有零点；
当g（x）_极大=0时，原函数只有一个零点；
当g（x）_极大＞0时，原函数有两个零点．

点评 本题主要是考查了利用导数研究函数的单调性，极值的基本思路，并在此基础上进一步借助于函数的图象研究函数的零点的性质，是一种常见题型．