Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an= 1 3 an-1+ 2 3 bn-1+ 1 2 bn= 2 3 an-1+ 1 3 bn-1+ 1 2 .

(n≥2)
（1）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n-b_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

Answer 1

分析：（1）由题设得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+1（n≥2），由此能求出{c_n}的通项公式．
（2）由题设得an-bn=-

1

3

(an-1-bn-1)(n≥2)，知{a_n-b_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为-

1

3

的等比数列．由此能求出其通项公式．
（3）由

an+bn=n+2 an-bn= 1 (-3)n-1

解得an=

1

2×(-3)n-1

+

n

2

+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

解答：解：（1）∵数列{a_n}、{b_n}满足a₁=2，b₁=1，
且

an= 1 3 an-1+ 2 3 bn-1+ 1 2 bn= 2 3 an-1+ 1 3 bn-1+ 1 2 .

(n≥2)，
∴a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+1（n≥2）（2分）
即c_n=c_n-1+1（n≥2）．
∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，公差为1的等差数列．
故通项公式为c_n=n+2（5分）
（2）由题设得an-bn=-

1

3

(an-1-bn-1)(n≥2)（7分）
∴{a_n-b_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为-

1

3

的等比数列．
∴通项公式为an-bn=

1

(-3)n-1

（10分）
（3）由

an+bn=n+2 an-bn= 1 (-3)n-1

，
解得an=

1

2×(-3)n-1

+

n

2

+1（12分）
∴Sn=

1 2 ×[1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

+

n(n+1) 2

2

+n
=

1

8×(-3)n-1

+

n2

4

+

5n

4

+

3

8

．（15分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和公式的求法，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．