Question

设函数f（x）=x1nx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）的切线，求切线方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域和导数，再求函数的“临界点”，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，即求出函数的单调区间，再求出函数的最小值；
（2）先求出函数F（x）的定义域和导数F′（x），并对F′（x）进行化简，再对a分类：a≥0时和a＜0时，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，下结论求出单调区间；
（3）先设切点坐标，再由导数的几何意义和斜率的坐标公式，把A和切点的坐标代入列出方程，再构造函数，结合此函数的单调性求出函数唯一的零点，即是对应方程的根x₀，代入f'（x）求出斜率，再代入点斜式方程化为一般式．

解答：（1）解：由题意得函数的定义域为（0，+∞），
且f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=

1

e

．
∵当x∈（0，

1

e

）时，f'（x）＜0；当x∈（

1

e

，+∞）时，f'（x）＞0，
∴函数在（0，

1

e

）上递减，在和（

1

e

，+∞）上递增，
∴当x=

1

e

时，函数取极小值，也最小值为f（x）_min=

1

e

ln

1

e

，
（2）由题意得F（x）=ax²+lnx+1，且定义域为（0，+∞），
F′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

- 1 2a

）上单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）上单调递减．
（3）设切点T（x₀，y₀），则y₀=x₀lnx₀，
又k_AT=f′（x₀），把A（-e^-2，0）代入得，

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，即e²x₀+lnx₀+1=0，
设h（x）=e²x+lnx+1，且定义域为（0，+∞），h′（x）=e²+

1

x

，
∴x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数h（x）最多只有一个零点，
即e²x₀+lnx₀+1=0最多只有一个根，
根据h（x）=e²x+lnx+1特点：①“使e²x为整数”，②“使lnx为整数”，
需要给x特殊值（取1或对数底数的幂的形式）使h（x）=0，
易得h（

1

e2

）=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴即为函数h（x）唯一的零点x0=

1

e2

，也是对应方程e²x₀+lnx₀+1=0唯一的实根，
由f'（x₀）=ln

1

e2

+1=-1得，k_AT=-1，
则所求的切线方程是y-0=-（x+e^-2），即x+y+

1

e2

=0．

点评：本题考查了导数与函数的单调性、最值关系，由导数的几何意义出求切线的方程，以及“超越方程”的根与函数的零点转化等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数方法，易错在求切线方程时，注意“在”和“过”某点的区别．