Question

设函数f（x）=x²+xsinx，对任意x₁，x₂∈（-π，π），若f（x₁）＞f（x₂），则下列式子成立的是（　　）

A．x₁＞x₂

B．x12＞x22

C．x₁＞|x₂|

D．|x₁|＜|x₂|

Answer 1

分析：由于f（-x）=f（x），故函数f（x）=x²+xsinx为偶函数，则f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．

解答：解：∵f（-x）=（-x）²-xsin（-x）=x²+xsinx=f（x），
∴函数f（x）=x²+xsinx为偶函数，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=2x+sinx+xcosx，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，π]上单调递增，
∵f（x₁）＞f（x₂），
∴结合偶函数的性质得f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x₁²＞x₂²．
故选B．

点评：本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在[0，π]上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．