Question

设函数f（x）=-

x

1+|x|

（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对 （a，b）有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、无数多个

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=-

x

1+|x|

(x∈R)，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，我们可以构造满足条件的关于a，b的方程组，解方程组，即可得到答案．

解答：解：∵x∈R，f（-x）=

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵x≥0时，f（x）=

-x

1+x

=

1

1+x

-1，
当x＜0时，f（x）=

-x

1-x

=1-

1

1-x

∴f（x）在R上单调递减
∵函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则f（a）=b，f（b）=a
即-

a

1+|a|

=b，-

b

1+|b|

=a
解得a=0，b=0
∵a＜b
使M=N成立的实数对 （a，b）有0对
故选A

点评：本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a，b的方程组，是解答本题的关键．