Question

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”．
②在平面内，F₁、F₂是定点，|F₁F₂|=6，动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4，则点M的轨迹是双曲线．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．
④“若-3＜m＜5则方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是椭圆”．
⑤在四面体OABC中，

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，D为BC的中点，E为AD的中点，则

OE

=

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

⑥椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．
其中真命题的序号是：

①②③⑤⑥

．

Answer 1

分析：利用互为逆命题的概念可判断①，利用双曲线的定义可判断②，利用等差数列的概念可判断③，利用椭圆的概念与性质可判断④与⑥，利用向量的运算性质可判断⑤，即可得到答案．

解答：解：对于①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，正确；
对于②，动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4＜6=|F₁F₂|，符合双曲线的定义，故②正确；
对于③，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，正确；
对于④，“若-3＜m＜5则方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是椭圆”错误，当m=1时，是圆；
对于⑤，由于D为BC的中点，

OD

=

1

2

（

OB

+

OC

）=

1

2

（

b

+

c

），E为AD的中点，

OE

=

1

2

（

OA

+

OD

）=

1

2

（

a

+

1

2

（

b

+

c

））=

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

，故⑤正确；
对于⑥，由椭圆的方程与定义可知，2a=10，P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5，正确．
故真命题的序号是①②③⑤⑥．

点评：本题考查双曲线的定义，椭圆的定义及其性质，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，掌握圆锥曲线的概念与性质及向量的运算性质是关键，属于中档题．