Question

在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，且2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC．
（Ⅰ）求角B的最大值；
（Ⅱ）设向量

a

=（

3

cos

B

2

+sin

B

2

，-1），

b

=（2cos

B

2

，

3

），求

a

•

b

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（I）由2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

c

2a

+

a

2c

-

1

c 2a + a 2c +1

，再利用基本不等式可得cosB≥1-

1

2

=

1

2

，利用y=cosx在（0，π）上单调递减，可得B的取值范围．
（II）

a

•

b

=

3

•2cos2

B

2

+sinB-

3

=

3

cosB+sinB=2sin(B+

π

3

)，利用B∈(0，

π

3

]，可得(B+

π

3

)∈(

π

3

，

2π

3

]，即可得出

a

•

b

的取值范围．

解答： 解：（I）∵2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，利用正弦定理可得2ac=ab+bc，∴b=

2ac

a+c

．
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( 2ac a+c )2

2ac

=

c

2a

+

a

2c

-

1

c 2a + a 2c +1

，∵

c

2a

+

a

2c

≥2

c 2a • a 2c

=1，当且仅当a=c时取等号．
∴cosB≥1-

1

2

=

1

2

，
又∵y=cosx在（0，π）上单调递减，∴B的取值范围是(0，

π

3

]．因此角B的最大值是

π

3

．
（II）

a

•

b

=

3

•2cos2

B

2

+sinB-

3

=

3

cosB+sinB=2sin(B+

π

3

)，
∵B∈(0，

π

3

]，∴(B+

π

3

)∈(

π

3

，

2π

3

]，
∴

3

≤2sin(B+

π

3

)≤2，∴

a

•

b

的取值范围是[

3

，2]．

点评：本题综合考查了数量积运算、正弦定理和余弦定理、基本不等式的性质、倍角公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．