Question

为了调查某厂数万名工人独立生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天独立生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），频率分布直方图如图所示，已知独立生产的产品数量在[20，25）之间的工人有6位．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）工厂规定：若独立生产产品数量当日不小于25，则该工人当选“生产之星”，若将这天独立生产该产品数量的频率视为概率，随机从全厂工人中抽取3人，这3人中当日“生产之星”人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在[20，25）之间的频率为0.3，继而求出m的值，
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，由题知X～B（3，

2

5

），求出相应的概率，列出分布列，求出数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在[20，25）之间的频率为0.3，
所以

6

m

=0.3即m=20                                   
（Ⅱ）由频率分布直方图可得产品数量不小于25的频率为0.4，
所以三人中每人是“生产之星”的概率都是

2

5

，
X的取值为0，1，2，3，由题知X～B（3，

2

5

），
P（X=0）=(

3

5

)3=

27

125

，P（X=1）=

C

1 3

×

2

5

×(

3

5

)2=

54

125

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

2

5

)2×

3

5

=

36

125

，P（X=3）=(

2

5

)3=

8

125

所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

所以E（X）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

．

点评：本题考查频率分布直方图以及二项分布，离散型随机变量的分布列数学期望、考查运用概率知识解决实际问题的能力．