Question

甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知y=2 包括两种情况，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，根据变量的结果对应的事件做出两种情况的概率，这两种情况是互斥的，且每一种情况中包含的事件是相互独立事件，根据公式得到结果．
（2）由题意知随机变量的取值是0、1、2、3，根据不同变量对应的事件得到概率，写出分布列和期望．

解答： 解：（1）由题意知y=2 包括两种情况：
一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，
∴P（y=2）=P（x=2，y=2）+P（x≠2，y=2）=

1

4

×

2

5

+

3

4

×

1

5

=

1

4

．
（2）随机变量X可取的值为0，1，2，3
当X=0时，（x，y）=（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）
∴P（x=0）=

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

=

2

5

，
当X=1时，（x，y）=（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P（X=1）=

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

=

3

10

，
同理，得P（X=2）=

1

5

，P（X=3）=

1

10

，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	2 5	3 10	1 5	1 10

∴EX=1×

3

10

+2×

1

5

+3×

1

10

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道大题，文科考概率一般考查古典概型和几何概型．