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    几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．

    （Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．
    ①求证：OM∥平面A′B′N；
    ②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；
    （Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．
    考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定
    专题：空间位置关系与距离,空间角
    分析：（Ⅰ）（i）连结O′M，由已知条件推导出O′M⊥平面AA′B′B，ON⊥平面AA′B′B，所以O′M∥ON，由此能证明OM∥平面AA′B′B．
    （ii）以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值．
    （Ⅱ）当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，tan（α+β）=-
    		3
    ；当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，tan(α+β)=-
    4
    		3
    5
    ，直观判断tan（α+β）的取值范围是[-
    		3
    ，-
    4
    		3
    5
    ]．由已知条件推导出∠N′F1N，∠N′F2N分别为N′F1，N′F2与下底面所成的角，∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，由此能证明tan（α+β）的取值范围是[-
    		3
    ，-
    4
    		3
    5
    ]．
    解答： （Ⅰ）（i）证明：连结O′M，O′N，∵O′O⊥底面A′B′N′，O′M?底面A′B′N′，
    ∴O‘O⊥O′M，∵O′M⊥A′B′，O′O?平面AA′B′B，A′B′?平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，
    ∴O′M⊥平面AA′B′B，同理ON⊥平面AA′B′B，∴O′M∥ON，
    又O′M=ON，∴四边形ONO′M为平行四边形，
    又∵OM不包含于平面AA′B′B，O′N?平面AA′B′B，
    ∴OM∥平面AA′B′B．
    （ii）解：由题意得AA′=
    		6
    ，底面上的椭圆的长轴长2
    		2
    ，短轴长为2，
    如图，以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，
    建立空间直角坐标系，
    则有F2（1，0，0），N（0，1，0），A′(-
    		2
    ，0，
    		6
    )    ，B′(
    		2
    ，0，
    		6
    )    ，
    NA′
    =(-
    		2
    ，-1，
    		6
    )，
    NB′
    =(
    		2
    ，0，
    		6
    )    ，
    ∴
    NA′
    =（0
    		2
    ，-1，
    		6
    ），
    NB′
    =(
    		2
    ，-1，
    		6
    )    ，
    ∵z轴⊥平面ABN，∴取平面ABN的一个法向量
    n
    =(0，0，1)    ，
    设平面A′B′N的一个法向量为
    m
    =(x，y，z)    ，
    则
    m
    •
    NA′
    =-
    		2
    x-y+
    		6
    z=0
    m
    •
    NB′
    =
    		2
    x-y+
    		6
    z=0
    ，取z=1，得
    m
    =(0，
    		6
    ，1)    ，
    设平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的平面角为θ，
    则cosθ=|cos＜
    n
    ，
    m
    ＞|=|
    1
    		7
    |=
    		7
    7
    ，
    ∴平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值为
    		7
    7
    ．
    （Ⅱ）解：当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，
    NF1=NF2=
    		2
    ，tanα=tanβ=
    NN′
    NF1
    =
    		6
    		2
    =
    		3
    ，
    α=β=
    π
    3
    ，α+β=
    2π
    3
    ，tan（α+β）=-
    		3
    ；
    当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，
    NF1=
    		2
    +1    ，NF2=
    		2
    -1    ，
    tanα=
    NN‘
    NF1
    =
    		6
    		2
    +1
    ，tanβ=
    MN′
    NF1
    =
    		6
    		2
    -1
    ，
    tan(α+β)=-
    4
    		3
    5
    ，
    直观判断tan（α+β）的取值范围是[-
    		3
    ，-
    4
    		3
    5
    ]，
    ∵N′是点N在上底面的投影，∴N′N⊥上底面O′，
    ∵上下底面互相平行，∴N′N⊥平面ABN，
    ∴∠N′F1N，∠N′F2N分别为N′F1，N′F2与下底面所成的角，
    ∴∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，
    又∵NF1，NF2?平面ABN，∴NN′⊥NF1，NN′⊥NF2，
    设NF1=m，NF2=n，则m+n=2
    		2
    ，且tanα=
    		6
    m
    ，tanβ=
    		6
    n
    ，
    ∴tan（α+β）=
    		6
    m
    +
    		6
    n
    mn-6
    =
    4
    		3
    mn-6
    ，
    ∵m+n=2
    		2
    ，
    ∴mn=m（2
    		2
    -m）=-（m-
    		2
    ）2+2，
    又∵-5≤mn-6≤-4，-
    		3
    ≤
    4
    		3
    mn-6
    ≤-
    4
    5
    		3
    ，
    ∴tan（α+β）的取值范围是[-
    		3
    ，-
    4
    		3
    5
    ]．
    点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两角和正切值取值范围的求法与证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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    A、1
    B、2
    		3
    C、
    		3
    D、4

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    已知
    		2+
    2
    3
    =2
    2
    3
    ，
    		3+
    3
    8
    =3
    3
    8
    ，
    		4+
    4
    15
    =4
    4
    15
    ，
    		5+
    5
    24
    =5
    5
    24
    ，…
    		10+
    a
    b
    =10
    a
    b
    ，则推测a+b=（　　）
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    1
    x
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    x
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    		3
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    		3
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