Question

（2012•临沂二模）设圆x²+y²=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为

2x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：根据圆的切线与x轴，y轴交点分别为A和B，设出两点的坐标，进而得出切线的截距式方程，且根据勾股定理表示出|AB|，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设切线的距离d，使d等于圆的半径r，化简可得a与b的关系式，利用此关系式把|AB|²进行变形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值时a与b的值，把此时a与b的值代入所设的方程中，即可确定出切线的方程．

解答：解：设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，则切线的方程为

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b 2

．
又圆x²+y²=2的圆心坐标为（0，0），半径r=

2

，由圆心到直线的距离d=

|0+0-1|

( 1 a )2+ ( 1 b ) 2

=r=

2

，
∴(

1

a

)2+(

1

b

)2=

1

2

．
则|AB|²=（a²+b²）2[(

1

a

)2+(

1

b

)2]=2 （1+

a2

b2

+

b2

a2

+1）≥2（2+2）=8，当且仅当a=b=

1

2

时，等号成立．
故当|AB|取最小值时，切线l的方程为

x

1 2

+

y

1 2

=1，即 2x+2y-1=0，
故答案为 2x+2y-1=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的截距式方程，点到直线的距离公式，以及基本不等式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握这一性质是解本题的关键．