Question

10．已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是∠ACB的平分线且交AE于点F，交AB于点D．
（1）求∠ADF的度数；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．
（2）先证明△BCA∽△ACE，再确定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到结论．

解答 解：（1）设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
（2）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△BCA∽△ACE，∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形的相似，解题的关键是确定角的相等关系，注意弦切角定理的合理运用，属于中档题．