Question

【题目】在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）

A.若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；

B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；

C.若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；

D.若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

由平面且平面平面，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B；作，，连接，作.建立空间直角坐标系，由即可求得动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.

对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；

对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；

对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：

设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.

对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.

综上可知，正确的为ABD.

故选：ABD.