Question

12．设x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＞0}\\{x+y≥4}\\{2x-y≤1}\end{array}\right.$，则z=x-y的取值范围为[-1，$-\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＞0}\\{x+y≥4}\\{2x-y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{3}，\frac{7}{3}$），
化目标函数z=x-y为y=x-z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为$\frac{5}{3}-\frac{7}{3}=-\frac{2}{3}$，
当直线与直线y=x+1重合时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-1．
∴z=x-y的取值范围为[-1，$-\frac{2}{3}$]．
故答案为：[-1，$-\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．