Question

17．已知不等式ax²+5x-2＞0的解集是M．
（1）若M=∅，求实数a的取值范围；
（2）若M{x|$\frac{1}{2}$＜x＜2}，求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据不等式ax²+5x-2＞0的解集为空集，列出不等式，求出a的取值范围；
（2）根据不等式的解集M求出a的值，再解不等式即可．

解答 解：（1）不等式ax²+5x-2＞0的解集为M，
当M=∅时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{25+8a≤0}\end{array}\right.$，
解得a＜-$\frac{25}{8}$，
∴a的取值范围是a＜-$\frac{25}{8}$；
（2）当解集M={x|$\frac{1}{2}$＜x＜2}时，不等式对应的方程为ax²+5x-2=0，
它的实数根为$\frac{1}{2}$和2，
由根与系数的关系，得$\frac{1}{2}$×2=-$\frac{2}{a}$，
解得a=-1；
∴不等式ax²-5x+a²-1＞0可化为
-x²-5x＞0，
即x（x+5）＜0，
解得-5＜x＜0，
∴原不等式的解集为（-5，0）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．