Question

设命题p：点（2x+3-x²，x-2）在第四象限；命题q：x²-（3a+6）x+2a²+6a＜0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由命题p：点（2x+3-x²，x-2）在第四象限可求得命题p：-1＜x＜2；命题q：x²-（3a+6）x+2a²+6a＜0，可求得：（x-a）（x-（2a+6））＜0．¬p是¬q的必要不充分条件?q是p的必要不充分条件，利用二者的关系可求得实数a的取值范围．
解答：解：∵¬p是¬q的必要不充分条件?q是p的必要不充分条件，即p⇒q，反之不成立．
∵点（2x+3-x²，x-2）在第四象限，
∴，解得-1＜x＜2，即命题p对应的集合为M={x|-1＜x＜2}；
∵命题q：x²-（3a+6）x+2a²+6a＜0，即（x-a）（x-（2a+6））＜0，设其解集为N，
①当2a+6＞a，即a＞-6时，N={x|a＜x＜2a+6}，由题意知，M?N．
∴解得-2≤a≤-1．
②当2a+6＜a，即a＜-6时，N={x|2a+6＜x＜a}，由题意知，M?N．
∴解得a∈∅．
综上所述，实数a的取值范围是-2≤a≤-1．
故答案为：-2≤a≤-1．
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，难点在于¬p是¬q的必要不充分条件的理解与应用，着重考查化归思想与分类讨论思想，属于难题．