Question

【题目】设函数f（x）为定义在R奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x2+4x+1，
（1）求：当x＜0时，f（x）的表达式；
（2）用分段函数写出f（x）的表达式；
（3）若函数h（x）=f（x）﹣a恰有三个零点，求a的取值范围（只要求写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=﹣2x2+4x+1，

∴f（﹣x）=﹣2x2﹣4x+1，

∵f（x）为定义在R上是奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x2+4x﹣1

（2）解：∵f（x）为定义在R上是奇函数，

∴f（0）=﹣f（﹣0），则f（0）=0，

由（1）可得，f（x）=

（3）解：由函数h（x）=f（x）﹣a=0得，f（x）=a，

由条件得，当x＞0时，

f（x）=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，

由（2）画出函数f（x）和y=a的图象，如图所示：

∵函数h（x）=f（x）﹣a恰有三个零点，

∴由图得，﹣3＜a＜﹣1或a=0或1＜a＜3，

∴a的取值范围是

{a|﹣3＜a＜﹣1或a=0或1＜a＜3}

【解析】（1）设x＜0则﹣x＞0，根据题意和奇函数的性质求出当x＜0时，f（x）的表达式；（2）由奇函数的性质求出f（0）=0，由（1）和分段函数表示出f（x）；（3）利用配方法化简x＞0时的f（x），由（2）和二次函数的图象画出f（x）的图象，根据函数零点的几何意义和图象，求出满足题意的a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．