Question

如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA=求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知条件证明DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，从而证明P-ABC为正四面体；
（2）PD=PA=取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．说明∠DMA为二面角D-BC-A的平面角．
解三角形DMA求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）存在满足条件的直平行六面体．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，
利用该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．求出α=arcsim（8V）底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求
解答：证明：（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．
又∵截面DEF∥底面ABC，
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面体．
解：（2）取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．
∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角．
由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，
∴PM=AM=，由D是PA的中点，得
sin∠DMA=，∴∠DMA=arcsin．
（3）存在满足条件的直平行六面体．
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V．
设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，
则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V．
∵正四面体P-ABC的体积是，∴0＜V＜，0＜8V＜1．可知α=arcsim（8V）
故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面平行的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．