Question

如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等。（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA，求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等， ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF 又∵截面DEF∥底面ABC， ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°， ∴P-ABC是正四面体。
（2）取BC的中点M，连接PM，DM，AM ∵BC⊥PM，BC⊥AM， ∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM， 则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角 由（1）知，P-ABC的各棱长均为1， ∴PM=AM=，由D是PA的中点，得 sin∠DMA=， ∴∠DMA=arcsin。
（3）存在满足条件的直平行六面体 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V 设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α， 则该六面体棱长和为6，体积为sinα=V ∵正四面体P-ABC的体积是， ∴0＜V＜，0＜8V＜1 可知α=arcsim（8V） 故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求。