Question

位于函数y=3x+

13

4

的图象上的一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…这一系列点的横坐标构成以-

5

2

为首项，-1为公差的等差数列x_n．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的第一条的对称轴都垂直于x轴，对于n∈N*第n条抛物线C_n的顶点为P_n，抛物线C_n过点D_n（0，n²+1），且在该点处的切线的斜率为k_n，求证

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

．

Answer 1

分析：（1）位于函数y=3x+

13

4

的图象上的一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…这一系列点的横坐标构成以-

5

2

为首项，-1为公差的等差数列x_n
（2）欲证

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

，关键是求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

．先设出C_n的方程，把D点代入求得a，进而对函数进行求得求得切线的斜率，即k_n的表达式，进而用裂项法求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

．

解答：解：（1）由于P_n的横坐标构成以 -

5

2

为首项，-1为公差的等差数列{x_n}，
故 xn=x1+(n-1)d=-

5

2

-(n-1)=-n-

3

2

．
又P_n（x_n，y_n）位于函数 y=3x+

13

4

的图象上，
所以y _=3xn+

13

4

=3(-n-

3

2

)+

13

4

=-3n-

5

4

．
所求点P_n（x_n，y_n）的坐标为（ -n-

3

2

，-3n-

5

4

)．
（2）∵C_n的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，
∴设C_n的方程为 y=a(x+

2n+3

2

)2-

12n+5

4

．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程为y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

(2n+1)

-

1

(2n+3)

]，
∴

1

k1k2

+

1

k2k3

+

1

kn-1kn

=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

1

10

-

1

4n+6

．
故得：

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

＜

1

10

．

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，及直线的方程，由由P_n的横坐标构成等差数列{x_n}，我们不难根据已知求出数列{x_n}的通项公式，代入直线方程，求出对应的纵坐标，即可得到点的坐标．本题还考查了数列求和问题．考查了用裂项法求和的方法运用和对数列基础知识的综合运用．