Question

14．已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′（$\frac{2}{3}$）．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到f′（$\frac{2}{3}$）=3×$\frac{4}{9}$+2f′（$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$-1，解出即可；
（2）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间；
（3）问题等价于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-1，
当x=$\frac{2}{3}$时，得a=f′（$\frac{2}{3}$）=3×$\frac{4}{9}$+2f′（$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$-1，
解之，得a=-1．                            
（2）∵f（x）=x³-x²-x+c，
∴f′（x）=3（x+$\frac{1}{3}$）（x-1），列表如下：

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	-$\frac{1}{3}$	（-$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-$\frac{1}{3}$，1）．            
（3）函数g（x）=（-x²-x+c）e^x，
有g′（x）=（-x²-3x+c-1）e^x，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x²-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是：c≥11．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．