Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，求直线AQ与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由三角形中位线定理得MN∥BD，由此能证明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD内作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AQ与平面AMN所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图连接BD．
∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）如图，以A为原点，在平面ABCD内作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系：
A（0，0，0），P（0，0，2$\sqrt{6}$），B（3，-$\sqrt{3}$，0），M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{6}$），
D（0，2$\sqrt{3}$，0），N（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），C（3，$\sqrt{3}$，0）．
$\overrightarrow{PC}$=（3，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{6}$），
设Q（x，y，z），则$\overrightarrow{PQ}$=（$x，y，z-2\sqrt{6}$），
∵$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{z-2\sqrt{6}=-\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，∴Q（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），∴$\overrightarrow{AQ}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
设平面AMN法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）．
∵$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{6}$），$\overrightarrow{AN}$=（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}b+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
设直线AQ与平面AMN所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+6-2}{\sqrt{8}•\sqrt{\frac{27}{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线AQ与平面AMN所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．