Question

2．设ω是虚数，z=ω+$\frac{1}{ω}$是实数，且|z|≤1．
（Ⅰ）求ω的实部的取值范围；
（Ⅱ）试判断$\frac{1-ω}{1+ω}$是否为纯虚数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设ω=a+bi（a，b∈R，b≠0），把ω的值代入z，利用复数代数形式的乘除运算化简，又已知z为实数，则虚部等于0，求出z=2a，又|z|≤1，即可求出ω的实部的取值范围；
（Ⅱ）把ω的值代入$\frac{1-ω}{1+ω}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，由b≠0，$|a|≤\frac{1}{2}$，即可得到$\frac{1-ω}{1+ω}$的虚部不等于0，则答案可求．

解答 解：（Ⅰ）设ω=a+bi（a，b∈R，b≠0），
则$z=a+bi+\frac{1}{a+bi}$=$a+\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}+（b-\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）i$，
∵z为实数，∴$b=\frac{b}{{{a^2}+{b^2}}}（b≠0）$，∴a²+b²=1．
∴z=2a，又|z|≤1，∴$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$\frac{1-ω}{1+ω}$=$\frac{1-a-bi}{1+a+bi}=\frac{（1-{a}^{2}-{b}^{2}）-2bi}{2（1+a）}=-\frac{b}{1+a}i$，
∵b≠0，$|a|≤\frac{1}{2}$．
∴$-\frac{b}{1+a}≠0$．
∴$\frac{1-ω}{1+ω}$为纯虚数．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．