Question

已知过函数f(x)=x³+ax²+1的图像上一点B（1,b）的切线的斜率为-3.

(1)求a、b的值.

（2）求A的取值范围，使不等式f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立.

（3）令g(x)=-f(x)-3x²+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1］时，g(x)有最大值1?

Answer 1

解：(1)f′(x)=3x²+2ax,依题意,得k=f′(1)=3+2a=-3,∴a=-3.∴f(x)=x³-3x²+1.把B(1,b)代入得b=f(1)=-1,∴a=-3,b=-1.

(2)令f′(x)=3x²-6x=0,得x=0或x=2.∵f(0)=1,f(2)=2³-3×2²+1=-3,f(-1)=-3,f(4)=17,

∴当x∈［-1,4］时,-3≤f(x)≤17,要使f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1 991,∴A≥2 008.

(3)已知g(x)=-(x³-3x²+1)-3x²+tx+1=-x³+tx,∴g′(x)=-3x²+t.∵0＜x≤1,∴-3≤-3x²＜0.

①当t＞3时，t-3x²＞0,即g′(x)＞0,∴g(x)在(0，1］上为增函数，g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意，舍去).

②当0＜t≤3时，g′(x)=-3x²+t,令g′(x)=0，得x=.

列表如下：

x	(0,)		(,1］
g′(x)	+	0	-
g(x)	↗	极大值	↘

g(x)在x=处取最大值-()³+t=1,

∴t==＜3.∴x=＜1.

③当t≤0时，g′(x)=-3x²+t＜0,

∴g(x)在(0，1］上为减函数.∴g(x)在(0，1］上无最大值.

∴存在一个t=,使g(x)在(0，1］上有最大值1.